Metodo Montecarlo

Método de Simulación de Monte Carlo

La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y

 los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio 

de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado

 va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos 

discretos o bien a la simulación de sistemas continuos).

Es un método estadístico numérico y permite simular y evaluar modelos matemáticos complejos.

El método de Monte Carlo es en realidad una clase de métodos que comparten el siguiente conjunto de características:

• Definen un dominio de entradas posibles.
• Generan entradas aleatoriamente en el dominio definido.
• Realizan cálculos determinísticos usando las entradas generadas.
• Consolidan los resultados de los cálculos individuales en el resultado final.

Simulacion Montecarlo

Método de Montecarlo

El método de Montecarlo es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio.Montecarlo

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.

El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud del teorema del límite central.

Ejemplo de aplicación de Montecarlo. En el juego de barcos, primero se realizan una serie de tiros a puntos aleatorios. Si el jugador genera un algoritmo puede deducir la posición del barco conocidos los datos anteriores.

 

Pruebas Estadisticas para Los Numeros Aleatorios

PRUEBAS DE MEDIAS

 PRUEBAS DE VARIANZAS

 

PRUEBAS DE UNIFORMIDAD

Algoritmos PseudoAleatorios

ALGORITMOS LINEAL

ALGORITMO CUADRADOS MEDIOS

ALGORITMO PRODUCTOS MEDIOS

ALGORITMO MULTIPLICATIVO CONSTANTE

ALGORITMO MULTIPLICATIVO CONGRUENCIAL

ALGORITMO ADICTIVO

ALGORITMO CUADRATICO

ALGORITMO UNIX

ALGORITMO VISUAL

ALGORITMO EXCEL 97

ALGORITMO EXCEL 03-07

Descrgar Algoritmos

Caracteristicas de los Numeros Aleatorios

Un número es aleatorio o no con respecto a otros números; por lo tanto, lo correcto es hablar de series
de números aleatorios.

 

Propiedades de los números aleatorios:

• Deben tener igual probabilidad de salir elegidos.
• No debe existir correlación serial.
• Los números generados no se deben repetir frecuentemente (en ciclos).
• Las series generadas deben ser reproducibles.
• Rapidez en la obtención de los números.
• Almacenamiento mínimo. Tanto el propio generador como los números por el generados. Los números generados han de estar uniformemente distribuidos (todos deben tener la misma probabilidad de salir). 
• Los valores generados deben ser independientes unos de otros, es decir, que la obtención de cierto valor no esté condicionado por los valores obtenidos anteriormente (no correlacionado).

Numeros Aleatorios

Un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una función de distribución. Cuando no se especifica ninguna distribución, se presupone que se utiliza la distribución uniforme continua en el intervalo [0,1).

En los ordenadores personales es fácil simular la generación de números aleatorios, mediante mecanismos de generación de números seudoaleatorios, que, sin ser aleatorios (siguen una fórmula)

 

En estadística, un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una distribución. Los algoritmos para la generación de valores uniformemente distribuidos están presentes en todas las calculadoras y lenguajes de programación, y suelen estar basados en congruencias  

Un número pseudo-aleatorio es un número generado en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de números pseudo-aleatorios no muestran ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado.

Los mecanismos de generación de números aleatorios que se utilizan en la mayoría de los sistemas informáticos son en realidad procesos pseudo-aleatorios.

Una de las utilidades principales de los números pseudoaleatorios se lleva a cabo en el llamado método de Montecarlo, con múltiples utilidades, por ejemplo para hallar áreas / volúmenes encerradas en una gráfica y cuyas integrales son muy difíciles de hallar o irresolubles; mediante la generación de puntos basados en estos números, podemos hacer una buena aproximación de la superficie /volumen total , encerrándolo en un cuadrado / cubo , aunque no lo suficientemente buena. Asimismo, también destacan en el campo de la criptografía. Por ello se sigue investigando en la generación de dichos números, empleando por ejemplo medidores de ruido blanco o analizadores atmosféricos, ya que experimentalmente se ha comprobado que tienen una aleatoriedad bastante alta.

Modelos de Servidores Múltiples (M/M/C) : (DG/∝/∝)

Modelo con servidores en paralelos en los cuales la tasa de servicio de salida varian segun el numero de servidores

Definimos el valor de p (Ro)

como su sistema es infinito su landa efectivo es igual, y su variación en la tasa de salida esta condicionada por

la probabilidad de un evento cero condicionada por:

La Probabilidad de un Evento condicionada por:

Medidas de rendimiento

Modelos con Un Servidor (M/M/1) : (DG/N/∝)

Hay un limite de clientes en el sistema dado por N

La longitud máxima de la cola será N-1 Cuando la cantidad de clientes llega en el sistema llega a N no se aceptan más

definimos el valor de p (Ro)

la probabilidad del evento cero condicionada por:

La probabilidad de un evento cualquiera es:

Medidas de rendimiento

Modelos con Un Servidor (M/M/1) : (DG/∝/∝)

Numero de clientes en un tiempo determinado

Definimos el valor de p (Ro)


la probabilidad de un evento cero condicionada por:

La probabilidad de un evento cualquiera condicionada por: 






Medidas de Rendimiento

Medidas de Rendimiento de Estado Estable

Ls = CANTIDA DE CLIENTES EN SISTEMA

Lq = CANTIDAD CLIENTES EN LA COLA

Ws= TIEMPO EN EL SISTEMA

Wq = TIEMPO EN LA COLA

C= NÚMERO SERVIDORES OCUPADOS PROMEDIO 

Utilización de la instalación o sistema

Colas Especializadas de Poisson

Distribución de Kendall

David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. La notación de Kendall para describir las colas y sus características puede encontrarse en Tijms, H.C,Algorithmic Analysis of Queues, Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003. Ha sido desde entonces extendida a (1/2/3/(4/5/6) donde los números se reemplazan con:

Un código que describe el proceso de llegada. Los códigos usados son:

M para "Markoviano" (la tasa de llegadas sigue una distribución de Poisson), significando una distribución exponencial para los tiempos entre llegadas.

D para unos tiempos entre llegadas "determinísticas".

G para una "distribución general" de los tiempos entre llegadas, o del régimen de llegadas.

Un código similar que representa el proceso de servicio (tiempo de servicio). Se usan los mismos símbolos.

El número de canales de servicio (o servidores).

La capacidad del sistema, o el número máximo de clientes permitidos en el sistema incluyendo esos en servicio. Cuando el número está al máximo, las llegadas siguientes son rechazadas. Un caso particular de esta situación es el modelo M/M/n/n o Erlang-B, en el cual no hay cola de espera, sino n recursos (servidores) y hasta n usuarios como máximo; si llega el usuario n+1, es rechazado. Este último modelo es el que se aplica en telefonía convencional. Otro caso particular es el modelo Erlang-C o M/M/n, donde la capacidad del sistema es ilimitada, aunque haya sólo n recursos; en caso de llegar el recurso número n+1, pasará a una cola de espera, pero no es rechazado.

El orden de prioridad en la que los trabajos en la cola son servidos:

First Come First Served (FCFS) ó First In First Out (FIFO) , Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO) , Service In Random Order (SIRO) y Processor Sharing.

El tamaño del origen de las llamadas. El tamaño de la población desde donde los clientes vienen. Esto limita la tasa de llegadas.

Modelo Kendall

(a/b/c):(d/e/f)

a: distribución de llegada

b: distribución de salida o tiempo de servicio

c: cantidad de servidores en paralelo

d: disciplina de la cola

e: cantidad máxima del sistema

f: tamaño de la fuente

Modelo Generalizado de Colas de Poisson

El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo del estado estable en el modelo de colas, el cual se logra después de que el sistema ha estado en un tiempo de operación prolongado, el cual contrasta con el tiempo transitoria o de calentamiento del modelo

• Estado estable: comportamiento de largo plazo Que se alcanza por funcionamiento de la cola por largo plazo
• Bajo estado estable: tasa de entrada y salida debe ser iguales
• Frecuencia de llegada y salida depende del estado
• La probabilidad se calcula usando el diagrama de frecuencia de transición

las tasas esperadas de  d flujo de entrada y salida del estrado deben ser iguales

Con relación al siguiente diagrama de  tasa de transición

En General el modelo de ecuación de balance seria

Modelo de Nacimientos y Muertes Puros

El termino de Nacimientos Puras es cuando solo se le permite llegadas al sistema ; el de Muertes Puras cuando solo se permiten salidas del sistema


Nacimientos Puros

proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson.


Probabilidad de un Evento Cero condicionada por:

Probabilidad de un Evento n condicionada por :

Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de llegadas durante t igual a λ t.

Muertes Puras
o bien conocidas como la distribución truncada de Poisson.

Probabilidad de un Evento Cero condicionada por:

Probabilidad de un Evento n condicionada por :

Donde u es la frecuencia de salida